Авторизация
Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.
После регистрации вы можете задавать вопросы и отвечать на них, зарабатывая деньги. Ознакомьтесь с правилами, будем рады видеть вас в числе наших авторов!
Вы должны войти или зарегистрироваться, чтобы добавить ответ.
Для доказательства по определению предела последовательности нужно выполнить следующие шаги:
1. Сформулировать определение предела последовательности. Обычно определение имеет вид: «Последовательность {an} сходится к числу L, если для любого положительного числа ε существует такой номер N, начиная с которого все элементы последовательности {an} отличаются от L не более, чем на ε».
2. Взять произвольное положительное число ε и записать определение предела с использованием этого числа.
3. Найти такое значение N, начиная с которого все элементы последовательности отличаются от L не более, чем на ε. Для этого обычно используются алгебраические преобразования и свойства числовых последовательностей.
4. Доказать, что найденное значение N удовлетворяет определению предела. Для этого можно привести примеры, вычисления или математические рассуждения.
5. Заключить, что последовательность сходится к числу L по определению предела.
Пример доказательства по определению предела:
Доказать, что предел последовательности {1/n} при n стремящемся к бесконечности равен нулю.
1. Определение предела: Последовательность {1/n} сходится к нулю, если для любого положительного числа ε существует такой номер N, начиная с которого все элементы последовательности {1/n} отличаются от нуля не более, чем на ε.
2. Возьмем произвольное положительное число ε и запишем определение предела: |1/n — 0| < ε. 3. Решим неравенство: |1/n| < ε. Для этого применим свойство модуля: |a/b| = |a|/|b|. Получим: 1/|n| < ε. 4. Найдем такое значение N, начиная с которого 1/|n| < ε. Заметим, что 1/|n| убывает с ростом n, поэтому можно выбрать N = 1/ε. Тогда для всех n ≥ N будет выполняться неравенство 1/|n| < ε. 5. Заключение: Мы нашли такое значение N = 1/ε, начиная с которого все элементы последовательности {1/n} отличаются от нуля не более, чем на ε. Следовательно, предел последовательности {1/n} при n стремящемся к бесконечности равен нулю по определению предела.